Linear Equations in Two Variables- दो चर वाले रैखिक समीकरण

नमस्कार दोस्तों, स्वागत है आपका High School Blog पर। प्रस्तुत है आपके समक्ष Linear Equations in Two Variables के बारे डीटेल और एकदम क्लीयर जानकारी। दोस्तों मैंने देखा है कि स्टूडेंट्स और टीचर्स भी कहते हैं कि दो चर वाले रैखिक समीकरण की सभी जानकारी एक जगह नहीं मिल रही है इसलिए इस लेख में इस चैप्टर से जुड़े सभी तथ्यों को एक साथ क्रमश: संकलित करने का प्रयास किया गया है। परिक्षा में स्कोरिंग की दृष्टि से भी यह चैप्टर बहुत महत्वपूर्ण है इसलिए पूरे कंटेंट को सरल व स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है। इससे पहले कि चैप्टर स्टार्ट हो उससे पूर्व कुछ बेसिक चीज़ों को समझना जरूरी है जो चैप्टर को आसान बनाएंगे।

चर (Variable): वे राशियां जिनका मान अस्थिर (variable) होता है तथा ये अपने आप में एकक होती हैं। इन्हें स्वेछ अचर भी कहा जाता है।

Ex. a, b, c. x, y, z. p, q, r. etc.

अचर (Constant): वे राशियां जिनका मान स्थिर होता है उन्हें अचर राशि कहा जाता है। गणना इन्हीं राशियों से की जाती है। इन्हें निरपेक्ष अचर भी कहते हैं।

Ex. 1, 2, 3, 4....N

अचर राशि ऋणात्मक और धनात्मक दोनों प्रकार के होते है। इनके विस्तृत वर्णन आप पढ़ चुके हैं।

समीकरण (Equations): चर एवं अचर के संयोजन से बने दो पक्षीय फैक्टर जिनके बीच बराबर (=) का चिन्ह लगा होता है, समीकरण कहलाते हैं।

Ex. 3x+5=y, 5x-3y=0 etc.

समीकरण और बहुपद में अंतर:

समीकरण भी बहुपद ही होते हैं। इनमें विशेष अंतर नहीं होता है, फैक्टर दोनों में बनते हैं लेकिन बहुपद में (=) का चिन्ह नहीं लगा होता है। ये और बात है कि सलुशन के लिए (=) का प्रयोग कर लेते हैं। बहुपद की भाति समीकरण भी एक पदीय, द्विपदी या अनेक पदीय होते हैं।

एक चर वाले रैखिक समीकरण Liner equation of one variable :

जिन समीकरणों में केवल एक चर प्रयोग किया जाता है उन्हें एक चर वाले रैखिक समीकरण कहते हैं।

Ex. 5x=10, 6x=8, 7y=21, 8p=20 etc.

इनका स्टैंडर्ड फार्म ax+b=0 होता है। यहां x चर है तथा a और b अचर 1,2,3...N हैं।

Linear equation in two variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण):

 इन समीकरणों में दो चर प्रयोग किये जाते हैं अतः इन्हें दो चर वाले रैखिक समीकरण कहते‌ हैं।

Ex. 3x+2y=5, 7p-5q=21 etc.

इनका का स्टैंडर्ड फार्म ax+by+c=0 होता है। यहाँ a, b, c अचर 1,2,3...N तथा x, y चर हैं और a, b, c का मान जीरो नहीं होता है।

Pair of Linear equation in two variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म):

जब दो रैखिक समीकरण एक‌ साथ आते हैं तो इन्हें दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कहा जाता है। इनको युग्मपत समीकरण भी कहते हैं।

युग्मपत समीकरण के स्टैंडर्ड समीकरण- Standard equation of couple liner : 

दो रैखिक समीकरणों के लिए व्यापक समीकरण निम्नवथ होते हैं।

a¹x+b¹y+c¹=0.........(1)

a²x+b²y+c²=0........(2)

होता है। यहां a¹ को (ए वन) तथा a² को (ए टू) पढ़ें टाइपिंग में एक के नीचे वन, टू, नही लिख पाया। यहां a, b, c का मान जीरो नहीं होता। तथा चर x, y के मान संबंधित रैखिक समीकरण को संतुष्ट करेंगे।

रैखिक समीकरण के महत्वपूर्ण तथ्य- Importance of Liner equation:

1. रैखिक समीकरणों का ग्राफिक निरूपण एक सरल रेखा होता है।

2. x=0 का ग्राफ y-axis होता है।

3. y=0 का ग्राफ x-axis होता है। 

4. x=c का ग्राफ y-axis के पैरेलल एक सरल रेखा प्राप्त होता है। यहां c अचर है 

5. y=c का ग्राफ x-axis के पैरेलल एक सरल रेखा प्राप्त होता है। यहां c अचर है।

Solution of Linear equation (दो चर वाले रैखिक समीकरणों के हल करने की विधियां):

दो चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने हेतु अनेक विधियां हैं‌ पर कुछ निम्न हैं।

1. ग्राफिय निरुपण विधी (Graffic Method)

2. विलोपन विधि ( Elimination Method)

3. प्रतिस्थापन विधि ( Substitution Method

4. बज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)

5. तुलनात्मक विधि ( Comparison Method)

6. पक्षान्तरण विधि (Transposition Method)

1. ग्राफिय निरुपण विधी ( Graffics Method):

इसमें दो समी दिए होते हैं। इनका ग्राफिक निरूपण सदैव सरल‌ रेखा प्राप्त होता है। इसीलिए तो इन्हें रैखिक समीकरण कहा जाता है।

 इसमें एक समीकरण में से x या y का मान निकाल लिया जाता है फिर अपने मन से उसमें x (1,2,3,....n) कुछ भी मान‌ रखकर y अचर मान‌ निकाल लिया जाता है। ऐसा तीन बार करें जिससे ( x, y ) के रूप में तीन बिंदु प्राप्त होते हैं।

 ऐसा ही दूसरे समी के लिए करें उसमें भी तीन मान निकालें।

 दोनों समी के लिए तीन-तीन बिन्दुओं से अलग- अलग ग्राफ खींचें देखेंगे एक सरल रेखा प्राप्त होता है।

2. विलोपन विधि ( Elimination Method):

इसमें दो रैखिक समीकरण दिए होते हैं। दोनों में से किसी एक समीकरण के "चर" के गुणांकों को सामान किया जाता है। इन गुणांकों के चिन्ह विपरीत हो, तो जोड़कर या घटाकर उन्हें विलोपित(खत्म) किया जाता है। इतना करने पर एक चर का मान प्राप्त होता है। इस मान को दिए गए समी.में किसी में भी रखकर, दुसरे चर का मान निकाल लिया जाता है। इस प्रकार समीकरण को हल कर लिया जाता है।

Ex. 3x+5y-9=0, 5x+7y+12=0 को हल करें।

हल: दिया है,

   3x+5y-9=0........(1)

   5x+7y+12=0......(2)

यहां देखें कि समी. (1) में x का गुणांक 3 और समी. (2) में x का गुणांक 5 है जो आपस में बराबर नहीं हैं। इन्हें बराबर करने के लिए समी.(1) में 5 और समीं. (2) में 3 से मल्टीप्लाई करने पर

   5.3x+5.5y-5.9=0

   3.5x+3.7y+3.12=0

   

   15x+25y-45=0.......(3)

   15x+21y+36=0.......(4)

अब समी (3) से समी (4) को घटाने पर

  15x+25y-45=0 

  -15x-21y-36=0 (घटाने पर चिन्ह चेंज हो गये)

            4y-81=0

            4y=81। (=) के बाद जाने पर चिन्ह चेंज

            y= 81/4

  y का ये मान समी (1) में रखने पर।

  3x+5y-9=0

  3x+5.81/4-9=0

  3x+405/4-9=0

  3x+(405-39)/9=0

  3x+ 366/9=0

  x=-366/9.3

  x= -122/9

अतः समीकरणों को हल करने पर x=122/9 और y=81/4 उत्तर आया।

   

3. प्रतिस्थापन विधि ( Substitution Method)

दिए गए समीकरण से x का मान y के पद में या y का मान x के पद में निकला जाता है.

समीकरण से निकले एक चर का मान दुसरे समीकरण में रखकर हल किया जाता है, जिससे एक चर का मान ज्ञात हो जाता है.

ज्ञात चर का मान पहले स्टेप से निकले सम्बन्ध में रखकर दुसरे चर का मान निकाला लिया जाता है.

Ex. 3x+5y-9=0, 5x+7y+12=0 को हल करें।

हल: दिए गए समी.

   3x+5y-9=0.......(1)

   5x+7y+12=0......(2)

अब समी 1 से y का मान निकाल कर समी 2 में रखें।

    3x+5y=9

    5y=9/3x

    y=(9/5.3)x   

 यह y का मान समी 2 में रखने पर

   5x+(7.9/5.3)x=-12

   5x+(21/5)x=-12

   x(5+21/5)=-12

   x(25+21)/5=-12

   46x=-12

   x=-12/46

   x=-6/23

अब x का‌ यह मान समी 1 में रखकर y का‌ मान फाइंड करें

   3x+5y-9=0

   3.(-6/23)+5y=9

 -18/23+5y=9

 -y(18+115)/23=9

 -y123=9

 -y=9/123

 - से मल्टीप्लाई करने पर

   y=-9/123

   

इस प्रकार समीकरण से x, y के मान निकाल लिये जाते‌ हैं।       

4. बज्र-गुणन विधि (Cross -Multiplication Method):

इस मेथड में निम्न तरह रैखिक समीकरणों को हल करते हैं। इसमें दो समी दिए होते हैं और उनका स्टैंडर्ड समी से तुलना करा कर a,b,c के पदों में x,y के मान प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार x ,y को पक्षान्तरण कर 1 के बराबर रख कर क्रास मल्टीप्लिकेशन कर‌ते हैं तो ऐसा फार्म प्राप्त होता है।

5. तुलनात्मक विधि (Comparison Method)

इसमें रैखिक समीकरण के हल करने हेतु दोनों समी को बराबर रखते हैं। अब स्टैंडर्ड समीकरण से तुलना करा कर बज्रगुणन विधी से हल कर‌ते हैं।

6. पक्षान्तरण वीधि ( Transposition Method):

समीकरण के किसी पद को एक तरफ से बराबर के दुसरें तरफ ले जाने की क्रिया को पक्षान्तरण कहते है। जब किसी पद को एक तरफ से दुसरें तरफ लाते हैं तो फैक्टरों के चिन्ह बदल जाते हैं।

Ex. 3x+5y-9=0, 5x+7y+12=0

हल: इसको हल करने के लिए दोनों समी को बराबर के एक तरफ कर लें चिन्ह बदल जाएंगे जो बराबर के LHS में आएगा।

अब हल करते जाएं मान प्राप्त होगा।

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निष्कर्ष

क्लास दस के लिए रैखिक समीकरण एक महत्वपूर्ण चैप्टर है जिससे एग्जाम में ऑब्जेक्टिव और सब्जेक्टिव दोनों प्रकार के प्रश्न पूछे जाते है. खासकर रैखिक समीकरण फार्मूला पर आधारित ऑब्जेक्टिव प्रश्न भी होते है, जो एग्जाम में टॉप करने के लिए कारगर होता है. शिक्षा और शिक्षण शैली को सम्पूर्ण भारत में प्रसार के लिए हम अन्तःमन से कार्यरत है. शिक्षा एवं सरकारी योजना से सम्बंधित सभी आवश्यक जानकारी इस वेबसाइट के माध्यम से प्रदान किया जाता है जो शिक्षा और जागरूकता को बढ़ावा देने में सक्षम है.

धन्यवाद।

FAQ.

Qua.एक चर वाले रैखिक समीकरण किसे कहते हैं?

Ans. वे समीकरण जिनमें समीकरण को बनाने वाले व्यंजकों में केवल एक चर हो तथा समीकरण में उस चर का अधिकतम घातांक 1 हो, एक चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है। एक रैखिक समीकरण में, समता चिन्ह के दोनों पक्षों में रैखिक व्यंजक हो सकते हैं।

Qua. दो चर वाले रैखिक समीकरण कौन सा है?

Ans. वास्तव में, यह किसी भी रैखिक समीकरण के लिए सत्य है, अर्थात् दो चरों वाले रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का प्रत्येक हल (x, y) इस समीकरण को निरूपित करने वाली रेखा के एक बिंदु के संगत होता है और विलोमत : भी ऐसा होता है।

Qua. क्या 4 एक रैखिक व्यंजक है?

Ans. इसमें केवल स्थिर शब्द हैं और कोई चर नहीं है। इसलिए, 4 एक रैखिक व्यंजक नहीं है ।

Qua. रैखिक समीकरण क्या है एक उदाहरण दीजिए?

And. ax + by + c = 0 के रूप में लिखे जाने वाले समीकरण को रैखिक समीकरण कहते है. इसमें a, b और c वास्तविक संख्याएँ होते हैं और a एवं b दोनों शून्य नहीं होते हैं.