Quadratic Equation in hindi

द्विघात समीकरण गणित शास्त्र का एक बहुत ही महत्वपूर्ण चैप्टर है। इसकी सहायता से हम एक घातीय, द्विघातीय तथा त्रिघातीय व्यंजकों का solutions निकालते है। इसका प्रयोग दैनिक जीवन में,  छोटे छोटे समीकरण बनाने में खूब किया जाता है इसलिए इस पोस्ट मे मैं आपको Quadratic Equation in hindi के बारे में डिटेल से बताऊंगा। जो आपके काम आएगा। चलिए सुरू करते हैं।

Quadratic Equation (द्विघात समीकरण):

द्विघात समीकरण भी एक बहुपद ही होता है लेकिन इसमें एक ही चर होता है जो दो बार लिखा जाता है।
यहाँ पहले चर पद की घात 2 एवं दूसरे चर पद की घात एक होती है।
चर x के समीकरण ax²+bx+c=0 को एक द्विघात का समीकरण कहते हैं। यह समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है।
यहाँ  a ≠ 0 एवं a, b और c अचर राशियाँ है।

ax²+bx+c=0 में सभी पदों का डिटेल निम्न प्रकार है
ax² = द्विघात पद
a = x² का गुणांक
bx = का रैखिक पद
b = x का गुणांक
c = अचर पद
Note- द्विघात समीकरण को त्रिपदीय व्यंजक भी कहते हैं क्योंकि इसमें तीन पद होते हैं। 

dwighat samikaran formula (द्विघात समीकरण सूत्र):

ax² + bx + c = 0 द्विघात समीकरण का मानक सूत्र कहलाता है ।
यहाँ  a ≠ 0   और b, c = 1, 2, 3...n.

द्विघात समीकरण के मूल (Roots of Q.E.):

द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं। इन्हे α (एल्फा) और β (बीटा) कहा जाता है। समीकरण को साल्व करने पर x के दो मान प्राप्त होते हैं यही मान α, β होते हैं।
Ex.
यदि x ² - 3x - 4 = 0 के मूल (-1,  4) हैं तो इनमें से प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करेगा।
अतः x ² - 3x - 4 = 0 में x = -1 रखने पर
(-1)² - 3(-1) - 4 = 0
1 + 3 - 4 = 0
4 - 4 = 0
अब x ² - 3x - 4 = 0 में x = 4 रखने पर
4² - 3.4 - 4 =0
16 - 12 - 4 = 0
16 - 16 = 0

इस तरह x के दोनों मान रखने पर हम पाते हैं कि दोनो स्थिति में x = 0 है।
अतः उक्त समीकरण के दोनों मूल दिये गए द्विघात समीकरण के हल हैं।

द्विघात समीकरण के मूलो का गुणनफल(α+β) = -b/a
द्विघात समीकरण के मूलो का गुणनफल (α×β) = c/a
यदि कोई द्विघात समीकरण ² + bx +c = 0 हो
तो a और b, x के गुणांक तथा c अचर पद है।

द्विघात समीकरण को हल करने की विधि (Solution of Quadratic Equation):

द्विघात समीकरण को तीन विधियों से हल किया जाता है। ये इस प्रकार हैं।

1. गुणनखंड विधि - Factorisation Method :
2. पूर्ण वर्ग विधि - Completing Square Method:
3.श्रीधर आचार्य विधि Sridhar Acharya Method :

1. गुणनखंड विधि - Factorisation Method :

द्विघात समीकरण को साल्व करने की यह सबसे ईजी मेथड है। इसमे हल करने के स्टेप्स निम्न हैं।

1. यदि x² का गुणांक नही है तो कोई बात नहीं
यदि है तो उससे अचर पद c मे गुणा कर लेते है।
2. अचर पद c का ऐसा दो खंड करते हैं ताकि दोनों खंडो को आपस में जोड़ने या घटाने पर मध्य पद b, x का गुणांक आए।
3. मध्य पद को ब्रैकेट में लिखें।
4. ब्रैकेट को ओपन करें,  चिन्ह बदलने योग्य हो तो बदल दें।
5. मध्य पद से ब्रैकेट ओपन करें अब समी. के चार पद हो जाएंगे।
6. पहले व दूसरे पद का तथा तीसरे और चौथे पद का जोड़ा बनाएं।
7. पहले जोड़े से एक अचर व चर दोनों कामन लें तथा दूसरे जोड़े से एक अचर कामन लें।
8. अब फिर दो पद बनेंगे जिनमे ब्रैकेट भी लगा होगा।
9. दोनों ब्रैकेट के अंदर के पद कामन लें तथा बचे फैक्टर को पुनः ब्रैकेट लगाएं।
10. अब दो ब्रैकेट में दो मान प्राप्त होंगें इनको अलग-अलग क्रमशः दो बार में 0 के बराबर रखकर x के मान प्राप्त करें। x के दो - दो मान मिलेगे। यही मान ही रूट कहलाते हैं।

सावधानियां
1. यदि अचर पद c का मान ऋणात्मक है तो c के खंडो में पहले खंड से दूसरे खंड को घटाने पर मध्य पद b, x का गुणांक प्राप्त होना चाहिए।
2. यदि अचर पद c का मान धनात्मक हो तो c के दोनों खंडों को जोड़ने पर मध्य पद b, x का गुणांक प्राप्त होना चाहिए।

Ex. x² + x – 20 = 0 का मूल निकाले?

हल: x² + x – 20 = 0
x²+ (5x - 4x) - 20
x² + 5x - 4x - 20
x (x + 5) - 4(x + 5) = 0
(x + 5) (x – 4) = 0
जब x + 5 = 0
तब x = -5

जब x - 4 = 0
तब x = 4
इस प्रकार दिए गए द्विघात समीकरण के दो मूल α, β प्राप्त हो गए।
(α, β) = (-5, 4)
उत्तर। 

2. पूर्ण वर्ग विधि - Completing Square Method:

द्विघात समीकरण को हल करने की इस विधि में वर्ग फार्म को पूरा करके बीजगणितीय रूप कन्वर्ट करके सरल करते हैं। इस प्रकार समीकरण के आवश्यक रूट प्राप्त करते हैं। अब इसे एक उदाहरण से समझते हैं।  मान लीजिए एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 है जिसमें a ≠ 0 है।
इस समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम इसे इस प्रकार साल्व करते हैं-

ax² + bx + c = 0
ax² + bx = - c
पूरे Equation में a से भाग देने पर
a/a.x² + b/a.x = - c/a
x² + b/a.x = - c/a

अब, हम LHS को पूर्ण वर्ग के रूप में बनाते हैं।
अतः दोनों पक्षों में (b/2a) add करके वर्ग करने पर

x² + b/a.x + (b/2a)² = - c/a + (b/2a)²
(x + b/2a)² = -c/a + b² /2²a²
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = + √(b 2 - 4ac)/2a
x = - b/2a + √(b 2 - 4ac)/2a

इस प्रकार हम समीकरण के रूट्स के मान को निकाल लेते हैं। इस विधि से समीकरण के दो संभावित मूल प्राप्त होते हैं  पहला x = [- b + √(b 2 - 4ac)]/2a और

x = [-b - √(b 2 - 4ac)]/2a

3.श्रीधर आचार्य विधि Sridhar Acharya Method :

इस विधि से ऐसे द्विघात समीकरण के हल निकाले जाते हैं जिनको गुणनखंड  मेथड से साल्व नही किया जा सकता है। इसके सलुशन में  कम्प्लीटिग स्क्वायर मेथड का भी थोड़ा सा रोल आता है। इसे विविक्तकर विधि भी कहते हैं।
यदि ax² + bx + c = 0 के मूल α, β हों तो

(α, β) =  – b ± √D / 2a
 α = – b + √(b² – 4ac) / 2a 
 β = – b – √(b²– 4ac) / 2a

यहाँ D = विविक्तकर (Discriminant ) है।
D = b²– 4ac  होता है।

मूल दिए होने पर द्विघात समीकरण बनाना:

जब मूल α, β दिए हो तो निम्न सूत्र के द्वारा द्विघात समीकरण बनाया जाता है।

x² - (मूलों का योगफल).x + (मूलों का गुणनफल) = 0

मूलों का योगफल (α+β) = -b/a
मूलों का गुणनफल (α×β) = c/a

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति (Nature of Quadratic Equation,s Roots):

द्विघात समीकरण के Roots एल्फा (α) और बीटा (β) द्वारा दर्शायी जाते हैं। द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति जानने के लिए समीकरण के मूलों को ज्ञात करना पड़ता है। बिना द्विघात समीकरण के मूलों को ज्ञात किए मूलों α, β का Nature नही ज्ञात कर सकते हैं। इसके लिए सबसे पहले विविक्तकर निकाला जाता है। विविक्तकर मान के आधार पर द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति का अनुमान लगाया जाता है।
यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0  हो तो
Determination (विविक्तकर): D =  b² - 4ac

यदि 
1. D > 0, दो अलग - अलग मूल वास्तविक और विशिष्ट होते हैं।
      
2. D < 0, कोई मूल नहीं हैं यानि रूट काल्पनिक हैं।
      
3. D = 0, मूल वास्तविक और समान हैं।

Note-
1. जब D = 0 हो, तो α = β = – b / a होता है।
2. ax² + bx + c = 0 में जब a + b + c = 1 हो, तो इसका एक मूल 1 होता है।

इस प्रकार आप Quadratic Equation के बारे में पूरी तरह जान चुके हैं। उम्मीद है आपलोग को यह कंटेंट पसंद आया होगा। अगर लेख पसंद आए तो शेयर करें।
धन्यवाद।


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FAQ.

Qua. द्विघात सूत्र का क्या काम है ?
Ans. द्विघात सूत्र से हम किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने में मदद लेते हैं। इससे हम समीकरण को ax²+bx+c=0 के रूप में लाते हैं यहाँ a और b, x के गुणांक हैं।

Qua. द्विघात बहुपद की घात कितनी होती है?
Ans. x की 2 घात  वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं।

Qua. शून्य बहुपद की डिग्री क्या है?
Ans. शून्य बहुपद की घात शून्य होती है।

Qua. द्विघात समीकरण क्या है उदाहरण सहित?
Ans.  समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप को द्विघात समीकरण कहा जाता है।
जहाँ a ,b, c ≠ 0

Qua. द्विघात समीकरण के कितने मूल होते हैं?
Ans. द्विघात समीकरण के दो मूल α और β  होते हैं।